En matemáticas, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144...
La sucesión inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.
La sucesión de Fibonacci es una de las más conocidas en los cursos de matemática y de programación, por su interesante aplicación práctica. Esta sucesión se define en forma recursiva de la siguiente manera:
fn = fn-1 + fn-2
Historia
Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido descubierta por matemáticos indios tales como Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era fn + 1, que produce explícitamente los números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.
La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.
También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos fn + 1 / fn se acerca a la relación áurea fi (
) cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen y Delia Derbyshire la han utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.
Planteamiento matematico para la resolución
Para esta sucesion buscaremos y justificaremos mediante una fórmula explícita , como calcular cada uno de los términos de la sucesión de Fibonacci.
Ademas investigaremos sobre la aplicación práctica de la fórmula: ¿Qué fenómenos o situaciones se describen con los datos que arroja esta sucesión?.
Resolución
Tenemos
) cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen y Delia Derbyshire la han utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.Planteamiento matematico para la resolución
Para esta sucesion buscaremos y justificaremos mediante una fórmula explícita , como calcular cada uno de los términos de la sucesión de Fibonacci.
Ademas investigaremos sobre la aplicación práctica de la fórmula: ¿Qué fenómenos o situaciones se describen con los datos que arroja esta sucesión?.
Resolución
Realizamos el proseso para encontrar la ecuacion caracteristica, concluimos que:
Es de orden 2
De esto se desprenden dos soluciones:
Tenemos que sucede el siguiente caso:
Para en contrar la formula explicita realizamos lo siguiente:
Ejemplos en la vida cotidiana de la utilizacion de la sucesion de fibonacci
Se pone una pareja de conejos en un lugar cerrado ¿Cuántos conejos se pueden generar a partir de la primera pareja en un año si se supone que una vez por mes a partir del segundo mes cada parereja genera una nueva?
| Meses | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Parejas | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 122 |
Hay muchisimos casos en la naturaleza donde aparece esta sucesión, como por ejemplo:
En algunas plantas si comenzamos a contar desde la base del tallo las hojas se verá que al llegar a una hoja que esté justo por encima de la hoja inicial se habrá llegado a un número de Fibonacci.
Las escamas de una piña aparecen el espiral alrededor de un vertice, el número de espirales de una piña es un número de Fibonacci.
Relaciones en las estructuras de los girasoles, las cebollas ,las lechugas…
Las espirales en los cuernos de ciertos animales y en las conchas de muchos moluscos.
La relación tiempo/espacio en la que una araña recorre un trayecto.
La relación velocidad/espacio en las distancias recorridas por los perros.
Y muchos más.
